Question

12．已知0＜α＜$\frac{π}{2}$，3sin（π-α）=-2cos（π+α）．
（1）求$\frac{4sinα-2cosα}{5cosα+3sinα}$的值；
 （2）求$cos2α+sin（α+\frac{π}{2}）$的值．

Answer 1

分析 由已知求得tanα的值．
（1）化弦为切可求$\frac{4sinα-2cosα}{5cosα+3sinα}$的值；
（2）由tanα的值，再由同角三角函数的基本关系式求得cosα，则$cos2α+sin（α+\frac{π}{2}）$的值可求．

解答 解：由3sin（π-α）=-2cos（π+α），得3sinα=2cosα，
∴tanα=$\frac{2}{3}$．
（1）$\frac{4sinα-2cosα}{5cosα+3sinα}$=$\frac{4tanα-2}{5+3tanα}=\frac{4×\frac{2}{3}-2}{5+3×\frac{2}{3}}=\frac{2}{21}$；
（2）∵tanα=$\frac{2}{3}$，∴$secα=\sqrt{1+ta{n}^{2}α}=\frac{\sqrt{13}}{3}$，则cosα=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．
∴$cos2α+sin（α+\frac{π}{2}）$=cos2α+cosα=2cos²α+cosα-1=$2×（\frac{3\sqrt{13}}{13}）^{2}+\frac{3\sqrt{13}}{13}-1$=$\frac{5+3\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础的计算题．