Question

1．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=2，点D为AC的中点，点E为AA₁上．
（Ⅰ）当AA₁=4AE时，求证：DE⊥平面BDC₁；
（Ⅱ）当AA₁=2AE时，求三棱锥C₁-EBD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明BD⊥AC，BD⊥DE．连接EC₁，证明ED⊥C₁D，然后证明DE⊥平面BDC₁．
（Ⅱ）求出${S_{△{C_1}DE}}=\frac{3}{2}$，说明BD为三棱锥B-C₁DE的高，然后利用等体积法转化求解即可．

解答 （Ⅰ）证明：∵△ABC为正三角形，点D为AC的中点，
∴BD⊥AC，∴BD⊥面ACC₁A₁，从而BD⊥DE．
连接EC₁，∵AA₁=4AE，AB=AA₁=2，∴$EA=\frac{1}{2}$，$ED=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，$E{C_1}=\sqrt{{2^2}+\frac{9}{4}}=\frac{5}{2}$，${C_1}D=\sqrt{5}$，
则$EC_1^2=E{D^2}+{C_1}{D^2}$，∴ED⊥C₁D，
又C₁D∩BD=D，∴DE⊥平面BDC₁．
（Ⅱ）解：∵AA₁=2AE，∴$ED=\sqrt{2}，{C_1}D={C_1}E=\sqrt{5}$，∴${S_{△{C_1}DE}}=\frac{3}{2}$，
由（Ⅰ）知BD⊥面ACC₁A₁中，所以BD为三棱锥B-C₁DE的高，
所以${V_{{C_1}-EBD}}={V_{B-{C_1}DE}}=\frac{1}{3}{S_{△{C_1}DE}}•BD=\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，等体积法的应用，考查空间想象能力以及计算能力．