Question

12．己知函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期为π，直线x=-$\frac{π}{24}$为它的图象的一条对称轴．
（1）求ω，φ的值；
（2）在△ABC中a，b，c分别为角A，B，C的对应边，若f（-$\frac{A}{2}$）=$\sqrt{2}$，a=3，b+c=6，求b，c值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用三角函数周期公式可求ω，由余弦函数的对称性，结合范围0＜φ＜$\frac{π}{2}$可求φ的值．
（2）由已知可求$cos（A-\frac{π}{12}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，结合范围-$\frac{π}{12}$＜A-$\frac{π}{12}$＜$\frac{11π}{12}$，可求A的值，进而利用余弦定理可求bc=9，结合a+c=6，即可得解b，c的值．

解答 （本题满分10分）
解：（1）函数f（x）的最小正周期为π=$\frac{2π}{ω}$，∴ω=2，…（2分）
x=-$\frac{π}{24}$为f（x）的图象的一条对称轴，
∴$2×（-\frac{π}{24}）+ϕ=kπ（0＜ϕ＜\frac{π}{2}）∴ϕ=\frac{π}{12}$…（5分）
（2）∵$f（-\frac{A}{2}）=2cos（A-\frac{π}{12}）=\sqrt{2}$，
∴$cos（A-\frac{π}{12}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∵-$\frac{π}{12}$＜A-$\frac{π}{12}$＜$\frac{11π}{12}$，
∴A-$\frac{π}{12}$=$\frac{π}{4}$，解得：A=$\frac{π}{3}$，…（7分）
∵a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc，即bc=9．    …（9分）
又∵b+c=6，
∴解得到b=c=3．…（10分）

点评 本题主要考查了三角函数周期公式，余弦函数的对称性，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．