Question

2．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2．将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁C⊥CD．
（1）若M是A₁D的中点，求A₁B与平面CME所成角的正弦值；
（2）线段A₁B上是否存在点P，使平面PME与平面CME垂直，若存在，求$\frac{{{A_1}P}}{{{A_1}B}}$的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）建立如图所示的坐标系，求出平面CME的法向量，利用向量方法求A₁B与平面CME所成角的正弦值；
（2）求出平面PME的法向量，由$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，可得结论．

解答 解：（1）建立如图所示的坐标系，则C（0，0，0），M（0，1，$\sqrt{3}$），E（2，2，0），A₁（0，0，2$\sqrt{3}$），B（3，0，0），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（3，0，-2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CM}$=（0，1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CE}$=（2，2，0），
设平面CME的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{y+\sqrt{3}z=0}\\{2x+2y=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（3，-3，$\sqrt{3}$），
∴A₁B与平面CME所成角的正弦值=|$\frac{9-6}{\sqrt{9+12}•\sqrt{9+9+3}}$|=$\frac{1}{7}$；
（2）设$\overrightarrow{{A}_{1}P}$=λ$\overrightarrow{{A}_{1}B}$，则P（3λ，0，2$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$λ），$\overrightarrow{PM}$=（-3λ，1，-$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$λ），$\overrightarrow{ME}$=（2，1，-$\sqrt{3}$）
设平面PME的法向量为$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），则$\left\{\begin{array}{l}{-3λa+b+（-\sqrt{3}+2\sqrt{3}λ）c=0}\\{2a+b-\sqrt{3}c=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}$=（2$\sqrt{3}$λ，2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$λ，2+3λ），
由$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，可得λ=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{{A_1}P}}{{{A_1}B}}$=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查线面角，考查平面与平面垂直的运用，考查向量方法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．