Question

14．如图，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为2，∠B₁BA=$\frac{π}{3}$，M，N分别为A₁C₁与B₁C的中点，且侧面ABB₁A₁⊥底面ABC．
（Ⅰ）证明：MN∥平面ABB₁A₁
（Ⅱ）求三棱柱B₁-ABC的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AC中点P，连结PN，PM，从而PN∥AB₁，PM∥AA₁，从而平面PMN∥平面AB₁A₁，由此能证明MN∥平面ABB₁A₁．
（Ⅱ）连结PB，过B₁作BO⊥平面ABC，推导出O是AB中点，由此能求出三棱柱B₁-ABC的体积．

解答 证明：（Ⅰ）取AC中点P，连结PN，PM，
∵斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M，N分别为A₁C₁与B₁C的中点，
∴PN∥AB₁，PM∥AA₁，
∵PM∩PN=P，AB₁∩AA=A，
PM，PN?平面PMN，AB₁，AA₁?平面AB₁A₁，
∴平面PMN∥平面AB₁A₁，
∵MN?平面PMN，∴MN∥平面ABB₁A₁．
解：（Ⅱ）连结PB，过B₁作BO⊥平面ABC，
∵斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为2，∠B₁BA=$\frac{π}{3}$，
M，N分别为A₁C₁与B₁C的中点，且侧面ABB₁A₁⊥底面ABC．
∴△ABB₁是边长为2的等边三角形，∴O是AB中点，∴B₁O=$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，
∵${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×2×2×sin60°$=$\sqrt{3}$，
∴三棱柱B₁-ABC的体积V=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×{B}_{1}O$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}$=1．

点评 本题考查线面平行的证明，考查三棱柱的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．