Question

6．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，平面α过直线BD，α⊥平面AB₁C，α∩平面AB₁C=m，平面β过直线A₁C₁，β∥平面AB₁C，β∩平面ADD₁A₁=n，则m，n所成角的余弦值为（　　）

• A． 0
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 如图所示，BD₁⊥平面AB₁C，平面α过直线BD，α⊥平面AB₁C，可得平面α即为平面DBB₁D₁．设AC∩BD=O．可得α∩平面AB₁C=m为OB₁．同理可得：平面A₁C₁D即为平面β．又A₁D∥B₁C，可得m，n所成角为∠OB₁C，根据△AB₁C为正三角形，即可得出．

解答 解：如图所示，
∵BD₁⊥平面AB₁C，平面α过直线BD，α⊥平面AB₁C，
∴平面α即为平面DBB₁D₁．设AC∩BD=O．
∴α∩平面AB₁C=m为OB₁．
∵平面A₁C₁D过直线A₁C₁，与平面AB₁C平行，
而平面β过直线A₁C₁，β∥平面AB₁C，
∴平面A₁C₁D即为平面β．
β∩平面ADD₁A₁=A₁D=n，
又A₁D∥B₁C，
∴m，n所成角为∠OB₁C，
由△AB₁C为正三角形，则cos∠OB₁C=cos$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查了正方体的性质、空间位置关系、等边三角形的性质、空间角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．