Question

16．已知椭圆E的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₁且斜率为2的直线交椭圆E于P，Q两点，若$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$，则椭圆E的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 通过椭圆的定义可得丨PF₂丨，丨PF₁丨，利用勾股定理及离心率公式计算即得结论．

解答 解：由题可知：$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$，则PF₁⊥PF₂，
由直线PQ的斜率k=2，则k=$\frac{丨P{F}_{2}丨}{丨P{F}_{1}丨}$=2，即丨PF₂丨=2丨PF₁丨，

又椭圆的定义：丨PF₂丨+丨PF₁丨=2a，
∴丨PF₁丨=$\frac{1}{3}$a，丨PF₂丨=$\frac{4}{3}$a，
由勾股定理可知：（2c）²=（$\frac{1}{3}$a）²+（$\frac{4}{3}$a）²，
即：c²=$\frac{5}{9}$a²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
故选A．

点评 本题考查求椭圆的离心率，涉及到三角函数的定义、勾股定理等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．