Question

1．函数f（x）的导函数为f'（x），若对于定义域内任意x₁，x₂（x₁≠x₂），有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}=f'（{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}）$恒成立，则称f（x）为恒均变函数．给出下列函数：
①f（x）=2x+3；
②$f（x）=\frac{1}{x}$；
③f（x）=x²-2x+3；
④f（x）=e^x；
⑤f（x）=lnx．
其中为恒均变函数的序号是①③（写出所有满足条件的函数的序号）

Answer 1

分析 对于所给的每一个函数，分别计算 $\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{{x}_{1}-x}_{2}}$和f′（ $\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{2}$）的值，检验二者是否相等，从而根据恒均变函数”的定义，做出判断．

解答 解：对于①f（x）=2x+3，
$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{{x}_{1}-x}_{2}}$=$\frac{{2x}_{1}-{2x}_{2}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$=2，f′（ $\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{2}$）=2，
满足 $\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{{x}_{1}-x}_{2}}$=f′（ $\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{2}$），为恒均变函数．
对于②f（x）=$\frac{1}{x}$，
$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{{x}_{1}-x}_{2}}$=$\frac{\frac{1}{{x}_{1}}-\frac{1}{{x}_{2}}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$=-$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$，f′（ $\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{2}$）=-$\frac{4}{{（{{x}_{1}+x}_{2}）}^{2}}$，
显然不满足 $\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{{x}_{1}-x}_{2}}$=f′（ $\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{2}$），故不是恒均变函数．
对于③f（x）=x²-2x+3，
$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{{x}_{1}-x}_{2}}$=$\frac{{（x}_{1}{-x}_{2}）{（x}_{1}{+x}_{2}-2）}{{{x}_{1}-x}_{2}}$=x₁+x₂-2
f′（ $\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{2}$）=2•$\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{2}$-2=x₁+x₂-2，
故满足 $\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{{x}_{1}-x}_{2}}$=f′（ $\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{2}$）为恒均变函数．
对于④f（x）=e^x ，
$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{{x}_{1}-x}_{2}}$=$\frac{{{e}^{{x}_{1}}-e}^{{x}_{2}}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$，f′（ $\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{2}$）=${e}^{\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{2}}$，
显然不满足$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{{x}_{1}-x}_{2}}$=f′（ $\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{2}$），故不是恒均变函数．
对于⑤f（x）=lnx，
$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{{x}_{1}-x}_{2}}$=$\frac{l{nx}_{1}-l{nx}_{2}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$=$\frac{ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$，f′（ $\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{2}$）=$\frac{2}{{{x}_{1}+x}_{2}}$，
显然不满足 $\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{{x}_{1}-x}_{2}}$=f′（ $\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{2}$），故不是恒均变函数．
故答案为：①③．

点评 本题主要考查函数的导数运算，“恒均变函数”的定义，判断命题的真假．