Question

13．如图所示的多面体ABCDE中，已知AB∥DE，AB⊥AD，AD=2$\sqrt{3}$，AC=CD=DE=2AB=2，BC=$\sqrt{5}$，F是CD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；
（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取CE的中点P，连接FP，BP．证明ABPF为平行四边形，推出AF∥BP．然后证明AF∥平面BCE．
（Ⅱ）取AD的中点O，连接CO，EO，证明CO⊥平面ABED于点O，|CO|为点C到平面ABED的距离，且|CO|，求出底面面积与高，即可求解几何体的体积．

解答 （Ⅰ）证明：如图，取CE的中点P，连接FP，BP．
∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且PF=$\frac{1}{2}$DE．
又AB∥DE，且AB=$\frac{1}{2}$DE．
∴AB∥FP，且AB=FP，
∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．
又∵AF?平面BCE，BP?平面BCE，
∴AF∥平面BCE．
（Ⅱ）解：∵AC=2AB=2，BC=$\sqrt{5}$，
∴BC²=AB²+AC²，∴AB⊥AC．
∵AB?平面ABED，∴平面ABED⊥平面ACD于AD．
如图，取AD的中点O，连接CO，EO，
∵在△ACD中，AC=CD=2，∴CO⊥AD，
∴CO⊥平面ABED于点O，
即|CO|为点C到平面ABED的距离，且|CO|=1．
又${S}_{ABED}=\frac{1}{2}×（1+2）×2\sqrt{3}=3\sqrt{3}$，
故多面体ABCDE的体积为$\frac{1}{3}{S}_{ABED}•|CO|$=$\frac{1}{3}×3\sqrt{3}×1$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．