Question

11．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=$\frac{n^2}{2}+\frac{3n}{2}$，若数列{b_n}满足b_n=a_n+2-a_n+$\frac{1}{{{a_{n+2}}•{a_n}}}$，则数列{b_n}的前n项和为T_n=$2n+\frac{5}{12}-\frac{2n+5}{2（n+2）（n+3）}$．

Answer 1

分析 数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=$\frac{n^2}{2}+\frac{3n}{2}$，数列{a_n}是等差数列，a₁=S₁=2；2+a₂=$\frac{{2}^{2}}{2}+\frac{3×2}{2}$，解得a₂．a_n=n+1．可得b_n=a_n+2-a_n+$\frac{1}{{{a_{n+2}}•{a_n}}}$=2+$\frac{1}{2}（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}）$，即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=$\frac{n^2}{2}+\frac{3n}{2}$，
∴数列{a_n}是等差数列，a₁=S₁=2；2+a₂=$\frac{{2}^{2}}{2}+\frac{3×2}{2}$=5，解得a₂=3．
∴公差d=3-2=1．
∴a_n=2+（n-1）=n+1．
∴b_n=a_n+2-a_n+$\frac{1}{{{a_{n+2}}•{a_n}}}$=n+3-（n+1）+$\frac{1}{（n+3）（n+1）}$=2+$\frac{1}{2}（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}）$，
则数列{b_n}的前n项和为T_n=2n+$\frac{1}{2}$$[（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+$（\frac{1}{4}-\frac{1}{6}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）+（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}）]$
=2n+$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}）$=$2n+\frac{5}{12}-\frac{2n+5}{2（n+2）（n+3）}$．
故答案为：$2n+\frac{5}{12}-\frac{2n+5}{2（n+2）（n+3）}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．