Question

20．已知向量$\overrightarrow a=（2，sinθ）$与$\overrightarrow b=（cosθ，1）$互相垂直，其中θ∈（0，π）．
（Ⅰ）求tanθ的值；
（Ⅱ）若$sin（θ-φ）=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，$\frac{π}{2}＜φ＜π$，求cosφ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据向量垂直关系的坐标建立等式，可得tanθ的值．
（Ⅱ）利用θ∈（0，π）和tanθ的值求解sinθ和cosθ的值．构造思想，cosφ=cos[θ-（θ-φ）]=cosθcos（θ-φ）+sinθsin（θ-φ）可得答案．

解答 解：（Ⅰ）由题意，向量$\overrightarrow a=（2，sinθ）$与$\overrightarrow b=（cosθ，1）$互相垂直，即$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$互相垂直，
∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b=2cosθ+sinθ=0$，
∴tanθ=-2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2cosθ+sinθ=0，sin²θ+cos²θ=1，
解得：$sinθ=±\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，cosθ=±\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
∵θ∈（0，π），
又由（Ⅰ）知tanθ=-2＜0，
∴$θ∈（\frac{π}{2}，π）$．
∴$sinθ=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，cosθ=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．
∵$\frac{π}{2}＜φ＜π，\frac{π}{2}＜θ＜π⇒-\frac{π}{2}＜θ-φ＜\frac{π}{2}$
$sin（θ-φ）=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，
∴$cos（θ-φ）=\sqrt{1-{{sin}^2}（θ-φ）}=\sqrt{1-\frac{1}{10}}=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$
∴cosφ=cos[θ-（θ-φ）]=cosθcos（θ-φ）+sinθsin（θ-φ）=$-\frac{{\sqrt{5}}}{5}×\frac{{3\sqrt{10}}}{10}+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}×\frac{{\sqrt{10}}}{10}=-\frac{{\sqrt{2}}}{10}$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，转化思想，构造出cosφ解决本题的关键．要注意角的范围问题．