Question

1．在锐角三角形ABC中，BC=2．tan²A+$\sqrt{3}$tanA-6=0．
（I）若sinB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求AC；
（Ⅱ）若AC=$\sqrt{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）解一元二次方程可求tanA，结合A为锐角，可求A的值，继而由正弦定理可得AC的值．
（Ⅱ）由正弦定理可得sinB，由B为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cosB，利用两角和的正弦函数公式可求sinC，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（I）∵tan²A+$\sqrt{3}$tanA-6=0．
∴解得：tanA=$\sqrt{3}$，或-2$\sqrt{3}$，
又∵A为锐角，
∴tanA=$\sqrt{3}$，A=$\frac{π}{3}$．
∵BC=2，sinB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴由正弦定理可得：$\frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，解得：AC=$\frac{4}{3}$．
（Ⅱ）∵BC=2，A=$\frac{π}{3}$，AC=$\sqrt{3}$，
∴由正弦定理可得：sinB=$\frac{ACsinA}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}$=$\frac{3}{4}$，
∵B为锐角，可得：cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{3+\sqrt{21}}{8}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC•sinC=$\frac{1}{2}×$$\sqrt{3}×2×$$\frac{3+\sqrt{21}}{8}$=$\frac{3\sqrt{3}+3\sqrt{7}}{8}$．

点评 本题主要考查了一元二次方程的解法，正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．