Question

3．函数f（x）=3cosωx+$\sqrt{3}$sinωx（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点．B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．
（1）求ω的值及f（x）的值域；
（2）若f（x₀）=$\frac{{8\sqrt{3}}}{5}$，且x₀∈（-$\frac{10}{3}$，$\frac{2}{3}$），求f（x₀+1）的值．

Answer 1

分析 （1）化简函数解析式可得f（x）=2$\sqrt{3}$sin $（{ωx+\frac{π}{3}}）$，由题意可求BC，由周期公式可求ω，由正弦函数的性质可求值域．
（2）由已知及（1）可求sin $（{\frac{{π{x_0}}}{4}+\frac{π}{3}}）$，结合范围x₀∈$（{-\frac{10}{3}，\frac{2}{3}}）$，得$\frac{{π{x_0}}}{4}$+$\frac{π}{3}$∈$（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$，可求cos $（{\frac{{π{x_0}}}{4}+\frac{π}{3}}）$，故f（x₀+1）=2$\sqrt{3}$sin $（{\frac{{π{x_0}}}{4}+\frac{π}{4}+\frac{π}{3}}）$=2$\sqrt{3}$sin $[{（{\frac{{π{x_0}}}{4}+\frac{π}{3}}）+\frac{π}{4}}]$利用两角和的正弦函数公式即可求值．

解答 解：（1）由已知可得f（x））=3cosωx+$\sqrt{3}$sinωx=2$\sqrt{3}$sin $（{ωx+\frac{π}{3}}）$…（2分）
易得正三角形ABC的高为2$\sqrt{3}$，则BC=4，
所以函数f（x）的周期为4×2=8，即$\frac{2π}{ω}$=8，解得ω=$\frac{π}{4}$．
所以函数f（x）的值域为[-$2\sqrt{3}$，$2\sqrt{3}$]…（6分）
（2）因为f（x0）=$\frac{{8\sqrt{3}}}{5}$，由（1）有f（x₀）=2$\sqrt{3}$sin $（{\frac{{π{x_0}}}{4}+\frac{π}{3}}）$=$\frac{{8\sqrt{3}}}{5}$，即sin $（{\frac{{π{x_0}}}{4}+\frac{π}{3}}）$=$\frac{4}{5}$，
由x₀∈$（{-\frac{10}{3}，\frac{2}{3}}）$，得$\frac{{π{x_0}}}{4}$+$\frac{π}{3}$∈$（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$．
即cos $（{\frac{{π{x_0}}}{4}+\frac{π}{3}}）$=$\sqrt{1-{{（{\frac{4}{5}}）}^2}}$=$\frac{3}{5}$，
故f（x₀+1）=2$\sqrt{3}$sin $（{\frac{{π{x_0}}}{4}+\frac{π}{4}+\frac{π}{3}}）$
=2$\sqrt{3}$sin $[{（{\frac{{π{x_0}}}{4}+\frac{π}{3}}）+\frac{π}{4}}]$
=$2\sqrt{3}[{sin（{\frac{{π{x_0}}}{4}+\frac{π}{3}}）cos\frac{π}{4}+cos（{\frac{{π{x_0}}}{4}+\frac{π}{3}}）sin\frac{π}{4}}]$
=$2\sqrt{3}（{\frac{4}{5}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{3}{5}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$=$\frac{{7\sqrt{6}}}{5}$．…（12分）

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的化简求值，正弦函数的图象与性质，属于基本知识的考查．