Question

（1）已知定点、，动点N满足（O为坐标原点），，，，求点P的轨迹方程.

（2）如图，已知椭圆的上、下顶点分别为，点在椭圆上，且异于点，直线与直线分别交于点，

（ⅰ）设直线的斜率分别为、，求证：为定值；

（ⅱ）当点运动时，以为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）定点或.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题意，先确定点N是MF₁中点，然后由确定|PM|=|PF₁|，从而得到|∣PF₁|-|PF₂∣|=||PM|-|PF₂||=|MF₂|=2＜|F₁F₂|，再根据双曲线的几何性质，即可得到点P的轨迹方程；（2）（ⅰ）设出点，由斜率公式得到的表达式，再根据点在椭圆上，得到其为定值；（ⅱ）将以为直径的圆上任一点坐标设出，即设点，再根据过直径的弦所对的圆周角为直角这一几何性质得到，从而得到点的轨迹方程也即以为直径的圆的方程为

.因为的系数有参数，故，从而得到圆上定点或.即得到所求.

试题解析：（Ⅰ）连接ON∵  ∴点N是MF₁中点  ∴|MF₂|=2|NO|=2

∵  ∴F₁M⊥PN    ∴|PM|=|PF₁|

∴|∣PF₁|-|PF₂∣|=||PM|-|PF₂||=|MF₂|=2＜|F₁F₂|

由双曲线的定义可知：点P的轨迹是以F₁，F₂为焦点的双曲线.

点P的轨迹方程是  4分

（ⅰ），，令，则由题设可知，

直线的斜率，的斜率，又点在椭圆上，所以

，（），从而有.8分

（ⅱ）设点是以为直径的圆上任意一点，则，又易求得、.所以、.故有

.又，化简后得到以为直径的圆的方程为

.

令，解得或.

所以以为直径的圆恒过定点或.

考点：1.点的轨迹方程；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3.向量数量积的坐标表示.