Question

16．已知等差数列{a_n}中，前n项和为S_n，a₁=1，{b_n}为等比数列且各项均为正数，b₁=1，且满足：b₂+S₂=7，b₃+S₃=22．
（Ⅰ）求a_n与b_n；
（Ⅱ）记c_n=$\frac{{2}^{n-1}•{a}_{n}}{{b}_{n}}$，求{c_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）若不等式（-1）ⁿ•m-T_n＜$\frac{n}{{2}^{n-1}}$对一切n∈N^*恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （I）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q＞0，由a₁=1，b₁=1，且满足：b₂+S₂=7，b₃+S₃=22．可得q+2+d=7，q²+3+3d=22，联立解出即可得出．
（Ⅱ）c_n=$\frac{n•{2}^{n-1}}{{4}^{n-1}}$=$n•（\frac{1}{2}）^{n-1}$，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
（Ⅲ）不等式（-1）ⁿ•m-T_n＜$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，即（-1）ⁿ•m-4+（2+n）$•（\frac{1}{2}）^{n-1}$＜$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，化为：（-1）ⁿ•m＜4-$\frac{1}{{2}^{n}}$．对n分类讨论，利用数列的单调性即可得出．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q＞0，
∵a₁=1，b₁=1，且满足：b₂+S₂=7，b₃+S₃=22．
∴q+2+d=7，q²+3+3d=22，联立解得q=4，d=1．
∴a_n=1+（n-1）=n，b_n=4^n-1．
（Ⅱ）c_n=$\frac{{2}^{n-1}•{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{n•{2}^{n-1}}{{4}^{n-1}}$=$n•（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴{c_n}的前n项和T_n=1+$2×\frac{1}{2}$+3×$（\frac{1}{2}）^{2}$+…+$n•（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+2×（\frac{1}{2}）^{2}$+…+（n-1）$•（\frac{1}{2}）^{n-1}$+n$•（\frac{1}{2}）^{n}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=1+$\frac{1}{2}$+$（\frac{1}{2}）^{2}$+…+$（\frac{1}{2}）^{n-1}$-n$•（\frac{1}{2}）^{n}$=$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$-$n•（\frac{1}{2}）^{n}$=2-（2+n）$•（\frac{1}{2}）^{n}$，
∴T_n=4-（2+n）$•（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
（Ⅲ）不等式（-1）ⁿ•m-T_n＜$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，即（-1）ⁿ•m-4+（2+n）$•（\frac{1}{2}）^{n-1}$＜$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
化为：（-1）ⁿ•m＜4-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
当n为偶数时，m＜4-$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{15}{4}$．
当n为奇数时，-m≤4，解得m≥-4．
∵（-1）ⁿ•m-T_n＜$\frac{n}{{2}^{n-1}}$对一切n∈N^*恒成立，
∴$-4≤m＜\frac{15}{4}$．
∴实数m的取值范围是$[-4，\frac{15}{4}）$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、数列的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．