Question

11．已知sinα+cosα=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，求下列各式的值．
（1）sinαcosα；
（2）sinα-cosα；
（3）sin⁴α+cos⁴α．

Answer 1

分析 （1）直接把已知的等式两边平方求得sinαcosα；
（2）由sinα-cosα=$±\sqrt{（sinα-cosα）^{2}}$，展开根号内部得答案；
（3）由sin⁴α+cos⁴α=（sin²α+cos²α）²-2sin²αcos²α求得答案．

解答 解：（1）由sinα+cosα=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，两边平方得$si{n}^{2}α+co{s}^{2}α+2sinαcosα=\frac{1}{2}$，
即sinαcosα=$-\frac{1}{4}$；
（2）sinα-cosα=$±\sqrt{（sinα-cosα）^{2}}$=$±\sqrt{1-2sinαcosα}=±\sqrt{1+\frac{1}{2}}=±\frac{\sqrt{6}}{2}$；
（3）sin⁴α+cos⁴α=（sin²α+cos²α）²-2sin²αcos²α
=1-$2×（-\frac{1}{4}）^{2}$=1-$\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$．

点评 本题考查三角函数的化简与求值，考查灵活变形能力，是基础题．