Question

5．在极坐标系中，已知曲线C₁的极坐标方程ρ²cos2θ=8，曲线C₂的极坐标方程为θ=$\frac{π}{6}$，曲线C₁，C₂相交于A，B两点．以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系，已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）求A，B两点的极坐标；
（2）曲线C₁与直线l分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．

Answer 1

分析 （1）由曲线C₁的极坐标方程ρ²cos2θ=8，曲线C₂的极坐标方程为θ=$\frac{π}{6}$，得ρ²cos$\frac{π}{3}$=8，所以ρ²=16，求出ρ，即可求A，B两点的极坐标；
（2）利用参数的几何意义，求线段MN的长度．

解答 解：（1）由曲线C₁的极坐标方程ρ²cos2θ=8，曲线C₂的极坐标方程为θ=$\frac{π}{6}$，得ρ²cos$\frac{π}{3}$=8，所以ρ²=16，即ρ=±4
所以A，B两点的极坐标为：A（4，$\frac{π}{6}$），B（-4，$\frac{π}{6}$）…（4分）
（2）由曲线C₁的极坐标方程得其直角坐标方程为x²-y²=8，…（5分）
将直线$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$代入x²-y²=8整理得t²+2$\sqrt{3}$t-14=0…（6分）
即t₁+t₂=-2$\sqrt{3}$，t₁•t₂=-14，…（8分）
所以|MN|=$\sqrt{（-2\sqrt{3}）^{2}-4×（-14）}$=2$\sqrt{17}$．   …（10分）

点评 本题考查了极坐标与直角坐标的互化公式、此时方程化为普通方程、弦长公式等基础知识与基本技能方法．