Question

20．已知$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$，其中向量$\overrightarrow a=（{\sqrt{3}sin2x，1}），\overrightarrow b=（{1，cos2x}）$（x∈R），
（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知f （A）=2，a=$\sqrt{7}$，b=$\sqrt{3}$，求边长c的值．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量数量积的运算，两角和的正弦函数公式可求函数解析式为f （x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），利用正弦函数的单调性即可得解．
（2）由已知可得sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1，结合范围0＜A＜π，可求A的值，由余弦定理即可解得c的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）f （x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x   …（1分）
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$） …（3分）
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，
得　$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}，k∈Z$．…（5分）
∴f（x）的单调增区间为$[{kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}}]，k∈Z$．…（6分）
（2）f （A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=2，
∴sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1，…（7分）
∵0＜A＜π，
∴$\frac{π}{6}＜2A+\frac{π}{6}＜\frac{13π}{6}$，
∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
∴A=$\frac{π}{6}$．…（9分）
由余弦定理得 a²=b²+c²-2bccosA，
7=3+c²-3c 即 c²-3c-4=0，…（11分）
∴c=4或c=-1 （不合题意，舍去），
∴c=4．      …（12分）

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算，两角和的正弦函数公式，正弦函数的单调性，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．