Question

9．已知函数f（x）=-f'（0）e^x+2x+3，点P为曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线l上的一点，点Q在曲线$y=\frac{x}{e^x}$上，则|PQ|的最小值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，令x=0，可得切线l的斜率和切点，切线方程l，再求$y=\frac{x}{e^x}$导数，由过Q的切线与切线l平行时，距离最短．求得切点Q的坐标，运用点到直线的距离公式，即可得到最小值．

解答 解：f（x）=-f'（0）e^x+2x+3，
可得f′（x）=-f'（0）e^x+2，
即有f′（0）=-f'（0）e⁰+2，
解得f′（0）=1，
则f（x）=-e^x+2x+3，
f（0）=-e⁰+0+3=2，
则切线l：y=x+2，
$y=\frac{x}{e^x}$的导数为y′=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
过Q的切线与切线l平行时，距离最短．
由$\frac{1-x}{{e}^{x}}$=1，即e^x=1-x，
由y=e^x，y=1-x的图象可得x=0，
即切点Q（0，0），
则Q到切线l的距离为$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，同时考查点到直线的距离公式运用，运算能力，属于中档题．