【题目】已知函数,(
).
(1)当,且
时,求
的值域;
(2)若存在实数使得
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】试题分析:(1)将参数值代入,根据二倍角公式得到关于正弦的二次函数,再转化为二次函数最值问题;(2)由二倍角公式得到f(x)=+asinx,分类讨论即可.
详解:
(1)当a=1,时,f(x)=sinx﹣cos2x+1=sinx﹣(1﹣2sin2x)+1=+sinx
=2﹣
;
时,sinx∈[﹣1,1],
∴sinx=﹣时,f(x)取得最小值﹣
,sinx=1时,f(x)取得最大值3,
∴f(x)的值域为[﹣,3];
(2)f(x)=asinx﹣cos2x+1=asinx+=
+asinx,
设t=sinx,则t∈[﹣1,1],代入原函数得y=2t2+at,
∵存在实数x使得函数f(x)≥a2成立,
∴存在t∈[﹣1,1]使得函数2t2+at≥a2成立,
①当a=0时,2t2≥0成立,
②当a≠0时,由2t2+at﹣a2≥0得(2t﹣a)(t+a)≥0,
当a>0时,2t2+at﹣a2≥0的解集是(﹣∞,﹣a]∪[,+∞),
由题意可得,≤1或﹣a≥﹣1,解得0<a≤2,
当a<0时,2t2+at﹣a2≥0的解集是(﹣∞,]∪[﹣a,+∞),
由题意可得,﹣a≤1或≥﹣1,解得﹣2≤a<0,
综上,实数a的取值范围是[﹣2,2].
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【题目】(本小题满分12分,(1)小问7分,(2)小问5分)
设函数
(1)若在
处取得极值,确定
的值,并求此时曲线
在点
处的切线方程;
(2)若在
上为减函数,求
的取值范围。
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【题目】设函数.
(1)当时,函数
与
在
处的切线互相垂直,求
的值;
(2)若函数在定义域内不单调,求
的取值范围;
(3)是否存在正实数,使得
对任意正实数
恒成立?若存在,求出满足条件的实数
;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面,∠BAC=90°,AB= AC = AA1=2,M,N分别是A1B1,BC的中点.
(1)证明:MN∥平面ACC1A1;
(2)求二面角M﹣AN﹣B的余弦值.
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【题目】已知数列{an}的前n项和是Sn,且Sn=1(n∈N),数列{bn}是公差d不等于0的等差数列,且满足:b1=
,而b2,b5,ba14成等比数列.
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;
(2)设cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Tn.
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【题目】某地棚户区改造建筑平面示意图如图所示,经规划调研确定,棚改规划建筑用地区域近似为圆面,该圆面的内接四边形是原棚户区建筑用地,测量可知边界
万米,
万米,
万米.
(1)请计算原棚户区建筑用地的面积及
的长;
(2)因地理条件的限制,边界不能更改,而边界
可以调整,为了提高棚户区建筑用地的利用率,请在圆弧
上设计一点
,使得棚户区改造后的新建筑用地
的面积最大,并求出最大值.
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【题目】质检过后,某校为了解科班学生的数学、物理学习情况,利用随机数表法从全年极名理科生抽取
名学生的成绩进行统计分析.已知学生考号的后三位分别为
.
(Ⅰ)若从随机数表的第行第
列的数开始向右读,请依次写出抽取的前
人的后三位考号;
(Ⅱ)如果题(Ⅰ)中随机抽取到的名同学的数学、物理成绩(单位:分)对应如下表:
数学成绩 | 87 | 91 | 90 | 89 | 93 |
物理成绩 | 89 | 90 | 91 | 88 | 92 |
求这两科成绩的平均数和方差,并且分析哪科成绩更稳定。
附:(下面是摘自随机数表的第行到第6行)
………
………
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