Question

【题目】已知椭圆经过点，且离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设分别为椭圆的左、右焦点，不经过的直线与椭圆交于两个不同的点，如果直线、、的斜率依次成等差数列，求焦点到直线的距离的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）.（2）.

【解析】试题分析：（1）由已知条件算出的值，得出椭圆C的方程；（2）设， ，直线的方程为，代入椭圆方程中，消去得，由韦达定理求出的值，利用直线、、的斜率依次成等差数列，得到，从而，即，化简得，由点到直线的距离，求出的表达式，通过借助函数的单调性，求出的范围。

试题解析（1）由题意，知考虑到，解得

所以，所求椭圆C的方程为.

（2）设直线的方程为，代入椭圆方程，

整理得.

由，得. ①

设， ，则， .

因为，所以， .

因为，且， ，

所以.

因为直线AB： 不过焦点，所以，

所以，从而，即. ②

由①②得，化简得. ③

焦点到直线： 的距离.

令，由知.

于是.

考虑到函数在上单调递减，

所以，解得.