Question

【题目】如图，直三棱柱 中， 分别是 的中点， ．
(Ⅰ)证明： ∥平面 ；
(Ⅱ)求锐二面角 的余弦值．

Answer 1

【答案】解：

(Ⅰ)连结 ,交 于点 ，连结 ,则 为 的中点，因为 为 的中点，所以 ∥ ,又因为 平面 , 平面 , ∥平面

(Ⅱ)由 ，可知 ,以 为坐标原点， 方向为 轴正方向， 方向为 轴正方向， 方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系 ，

则 ,

, ,

设 是平面 的法向量，则 即

可取 .

同理，设 是平面 的法向量，则 ，

可取 .从而

所以锐二面角 的余弦值为

【解析】（I）证明线面平行，关键是证明线面平行，因此连结 ,交 于点 O,再利用三角形相似即可。
（II）在空间求二面角，我们一般是建系求点，得法向量，再应用夹角公式即可。
【考点精析】利用直线与平面平行的判定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．