Question

9．已知数列{a_n}中，a₁=5，S_n+1=2S_n+n+5（n∈N⁺）
（1）证明：{a_n+1} 数列是等比数列．
（2）求数列 {a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）通过a_n+2=S_n+2-S_n+1，可得a_n+2+1=2（a_n+1+1），验证a₂+1=2（a₁+1），进而可得结论；
（2）通过（1），利用S_n=（a₁+1）+（a₂+1）+…+（a_n+1）-n计算即可．

解答 （1）证明：∵S_n+1=2S_n+n+5（n∈N⁺），
∴S_n+2=2S_n+1+n+1+5（n∈N⁺），
两式相减得：a_n+2=2a_n+1+1，
即a_n+2+1=2（a_n+1+1），
又∵a₁=5，S_n+1=2S_n+n+5（n∈N⁺），
∴a₂=11，且a₂+1=12=2×6=2（a₁+1），
∴数列{a_n+1}是以6为首项、2为公比的等比数列；
（2）解：由（1）知a_n+1=6×2^n-1=3×2ⁿ，
∴S_n=（a₁+1）+（a₂+1）+…+（a_n+1）-n
=3×$\frac{2×（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n
=6×2ⁿ-（n+6）．

点评 本题考查判断等比数列，求数列的和，注意解题方法的积累，属于中档题．