Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣2mx+m2+4m﹣2．
（1）若函数f（x）在区间[0，1]上是单调递减函数，求实数m的取值范围；
（2）若函数f（x）在区间[0，1]上有最小值﹣3，求实数m的值．

Answer 1

【答案】解：f（x）=（x﹣m）2+4m﹣2．
（1）由f（x）在区间[0，1]上是单调递减函数，得m≥1．
故实数m的取值范围是[1，+∞）．
（2）①当m＜0时，f（x）在区间[0，1]上单调递增，f（x）min=f（0）=m2+4m﹣2=﹣3．
解得m=﹣2﹣，或m=﹣2+；
②当0≤m≤1时，f（x）min=f（m）=4m﹣2=﹣3，解得m=﹣（舍）；
③当m＞1时，f（x）在[0，1]上单调递减，f（x）min=f（1）=m2+2m﹣1=﹣3．无解；
综上，实数m的值是﹣2±．
【解析】（1）由函数f（x）在区间[0，1]上是单调递减函数，知[0，1]为函数f（x）减区间的子集，由此可得m的取值范围；
（2）对m分类讨论，求出f（x）在区间[0，1]上的最小值，使其等于﹣3，解出即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数在闭区间上的最值的相关知识，掌握当时，当时，；当时在上递减，当时，．