Question

4．已知等差数列{a_n}的前三项为a-1，4，2a，记前n项和为S_n．
（1）若S_k=30，求a和k的值；
（2）设b_n=$\frac{S_n}{n}$，求b₁+b₂+b₃+…b_n的值．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
（2）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）由已知得a₁=a-1，a₂=4，a₃=2a，
又a₁+a₃=2a₂，∴（a-1）+2a=8，即a=3．
∴a₁=2，公差d=a₂-a₁=2．
由S_k=ka₁+$\frac{k（k-1）}{2}$d，得2k+$\frac{k（k-1）}{2}$×2=30，
即k²+k-30=0，解得k=5或k=-6（舍去）．
∴a=3，k=5．
（2）由S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d，得S_n=2n+$\frac{n（n-1）}{2}$×2=n²+n．
∴b_n=$\frac{Sn}{n}$=n+1．∴{b_n}是等差数列．
∴${b_1}+{b_2}+{b_3}+…{b_n}=2+3+4+…+（n+1）=\frac{n（n+3）}{2}$
∴${b_3}+{b_7}+{b_{11}}+…+{b_{4n=1}}=\frac{{{n^2}+3n}}{2}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．