Question

19．已知α∈（$-\frac{π}{4}$，0），β∈（$\frac{π}{2}$，π），cos（α+β）=-$\frac{4}{5}$，cos（β-$\frac{π}{4}$）=$\frac{5}{13}$，则cos（α+$\frac{5π}{4}$）=-$\frac{16}{65}$．

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系求得sin（α+β）和sin（β-$\frac{π}{4}$），再利用两角差的余弦公式求得则cos（α+$\frac{5π}{4}$）=cos[π+（α+$\frac{π}{4}$）]的值．

解答 解：∵α∈（$-\frac{π}{4}$，0），β∈（$\frac{π}{2}$，π），cos（α+β）=-$\frac{4}{5}$，cos（β-$\frac{π}{4}$）=$\frac{5}{13}$，
∴α+β∈（$\frac{π}{2}$，π），β-$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），
∴sin（α+β）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（α+β）}$=$\frac{3}{5}$，sin（β-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（β-\frac{π}{4}）}$=$\frac{12}{13}$，
则cos（α+$\frac{5π}{4}$）=cos[π+（α+$\frac{π}{4}$）]=-cos（α+$\frac{π}{4}$）=-cos[（α+β）-（β-$\frac{π}{4}$）]
=-cos（α+β）•cos（β-$\frac{π}{4}$）-sin（α+β）•sin（β-$\frac{π}{4}$）=-（-$\frac{4}{5}$）•$\frac{5}{13}$-$\frac{3}{5}$•$\frac{12}{13}$=-$\frac{16}{65}$，
故答案为：-$\frac{16}{65}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．