Question

14．已知抛物线C：x²=4y，过点P（0，m）（m＞0）的动直线l与C相交于A，B两点，抛物线C在点A和点B处的切线相交于点Q，直线AQ，BQ与x轴分别相交于点E，F．
（Ⅰ）写出抛物线C的焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）求证：点Q在直线y=-m上；
（Ⅲ）判断是否存在点P，使得四边形PEQF为矩形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接根据抛物线的定义即可求出抛物线C的焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）由题意，知直线l的斜率存在，故设l的方程为y=kx+m，构造方程组，根据根与系数关系和导数的几何意义得到抛物线在点A，B处的切线方程，得到x=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂），代入即可证明；
（Ⅲ）假设存在点P，使得四边形PEQF为矩形，由四边形PEQF为矩形，得EQ⊥FQ，AQ⊥BQ，根据直线的斜率得到P（0，1），再利用斜率相等验证PEQF为平行四边形即可．

解答 （Ⅰ）解：焦点坐标为（0，1），准线方程为Y=-1．…（2分）
（Ⅱ）证明：由题意，知直线l的斜率存在，故设l的方程为y=kx+m．
由方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$  得x²-4kx-4m=0，
由题意，得△=16k²+16m＞0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4m，…（4分）
由抛物线方程x²=4y，得y=$\frac{1}{4}$x²，所以y′=$\frac{1}{2}$x，
所以抛物线在点A处的切线方程为y-$\frac{1}{4}{x}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}$x₁（x-x₁），
化简，得y=$\frac{1}{2}$x₁x-$\frac{1}{4}{x}_{1}^{2}$
同理，抛物线在点B处的切线方程为y=$\frac{1}{2}$x₂x-$\frac{1}{4}{x}_{2}^{2}$    …（6分）
联立方程，得$\frac{1}{2}$x₁x-$\frac{1}{4}{x}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}$x₂x-$\frac{1}{4}{x}_{2}^{2}$    
即$\frac{1}{2}$（x₁-x₂）x=$\frac{1}{4}$（x₁-x₂）（x₁+x₂），
因为x₁≠x₁，所以x=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂），
代入，得y=$\frac{1}{4}$x₁x₂=-m，
所以点Q（$\frac{1}{2}$（x₁+x₂），-m），即Q（2k，-m）
点Q在直线y=-m上．…（8分）
（Ⅲ）解：假设存在点P，使得四边形PEQF为矩形，
由四边形PEQF为矩形，得EQ⊥FQ，AQ⊥BQ
∴k_AQ•k_BQ=-1，$\frac{1}{2}$x₁$•\frac{1}{2}$x₂=-1，
∴$\frac{1}{4}$x₁x₂=$\frac{1}{4}$（-4m）=-1，
∴m=1，P（0，1）
下面验证此时的四边形PEQF为平行四边形即可．
令y=0，得E（$\frac{1}{2}$x₁，0）．
同理得F（$\frac{1}{2}$x₂，0）．
所以直线EP的斜率为k_EP=$\frac{1-0}{0-\frac{1}{2}{x}_{1}}$=$\frac{-2}{{x}_{1}}$，
直线FQ的斜率k_FQ=$\frac{0-（-1）}{\frac{1}{2}{x}_{2}-\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$=$\frac{-2}{{x}_{1}}$，…（12分）
所以k_EP=k_FQ，即EP∥FQ．
同理PF∥EQ．所以四边形PEQF为平行四边形．
综上所述，存在点P（0，1），使得四边形PEQF为矩形．…（14分）

点评 本题考查直线、抛物线等基础知识，考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，抽象思维能力，考查数形结合思想，属于难题．