Question

4．过双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点的直线l与圆x²+y²=a²相切，且l与双曲线的右支有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围是（$\sqrt{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 求出直线l的斜率为±$\frac{a}{b}$，利用双曲线的渐近线的斜率为±$\frac{b}{a}$，l与双曲线的右支有公共点，可得$\frac{a}{b}$＜$\frac{b}{a}$，由此可求双曲线的离心率的取值范围．

解答 解：∵过双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点的直线l与圆x²+y²=a²相切，
∴直线l的斜率为±$\frac{a}{b}$，
∵双曲线的渐近线的斜率为±$\frac{b}{a}$，l与双曲线的右支有公共点，
∴$\frac{a}{b}$＜$\frac{b}{a}$，
∴a＜b，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}$＞$\sqrt{2}$，
故答案为：（$\sqrt{2}$，+∞）．

点评 本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用转化思想和双曲线的基本量的关系，考查运算能力，属于基础题．