Question

13．某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售出和收益情况，如表：

售出水量x（单位：箱）	7	6	6	5	6
收益y（单位：元）	165	142	148	125	150

（Ⅰ）求y关于x的线性回归方程；
（Ⅱ）预测售出8箱水的收益是多少元？
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$，
参考数据：7×165+6×142+6×148+5×125+6×150=4420．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先求出x，y的平均数，得到样本中心点，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，即可写出线性回归方程．
（Ⅱ）当自变量取8时，把8代入线性回归方程，求出销售额的预报值，这是一个估计数字．

解答 解：（Ⅰ） 由所给数据计算得$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（7+6+6+5+6）=6，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（165+142+148+125+150）=146，
$\sum_{i=1}^{5}$${{x}_{i}}^{2}$=7²+6²+6²+5²+6²=182，
$\widehat{b}$=$\frac{{{\sum_{i=1}^{5}x}_{i}y}_{i}-5\overline{x}\overline{y}}{{{\sum_{i=1}^{5}x}_{i}}^{2}-{5\overline{x}}^{2}}$=$\frac{4420-5×6×146}{182-5×6×6}$=20，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$=146-20×6=26，
所求回归直线方程为$\widehat{y}$=20x+26；
（Ⅱ）将x=8代入回归方程可预测售出8箱水的收益为
$\widehat{y}$=20×8+26=186（元）．

点评 本题考查回归分析的初步应用，考查求线性回归方程，考查预报y的值，本题解题的关键是利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，这是解答正确的主要环节，本题是一个中档题目．