Question

2．如图，四棱锥S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=1，SD=$\sqrt{7}$．
（Ⅰ）求证：CD⊥SD；
（Ⅱ）求SB与面SCD成的线面角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）取AB的中点E，连结SE，DE，则四边形BCDE是矩形，于是CD⊥DE，由等边三角形得SE⊥AB，故SE⊥CD，于是CD⊥平面SDE，得出CD⊥SD；
（II）利用勾股定理的逆定理可证SE⊥DE，故而SE⊥平面BCDE，以E为原点建立空间直角坐标系，求出$\overrightarrow{SB}$和平面SCD的法向量$\overrightarrow{n}$，则|cos＜$\overrightarrow{SB}，\overrightarrow{n}$＞|即为所求．

解答 证明：（I）取AB的中点E，连结SE，DE．
∵CD∥AB，CD=$\frac{1}{2}AB$=BE，BC⊥CD，
∴四边形BCDE是矩形，
∴CD⊥DE．
∵SA=SB，E是AB的中点，∴SE⊥AB．
∴SE⊥CD．
又DE，SE?平面SDE，DE∩SE=E，
∴CD⊥平面SDE，∵SD?平面SDE，
∴CD⊥SD．
（II）∵△SAB是边长为2的等边三角形，∴BE=1，SE=$\sqrt{3}$，
∵四边形BCDE是矩形，∴DE=BC=2，
∴SE²+DE²=SD²，∴SE⊥DE，
∴SE⊥平面ABCD．
以E为原点，以ED，EB，ES为坐标轴建立空间直角坐标系E-xyz，如图所示：
则S（0，0，$\sqrt{3}$），B（0，1，0），C（2，1，0），D（2，0，0）．
∴$\overrightarrow{SB}$=（0，1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CD}$=（0，-1，0），$\overrightarrow{SD}$=（2，0，-$\sqrt{3}$）．
设平面SCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0$，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SD}=0$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-y=0}\\{2x-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，令z=2，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，0，2），
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SB}$=-2$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{7}$，|$\overrightarrow{SB}$|=2，
∴cos＜$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SB}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SB}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{SB}|}$=-$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴SB与面SCD成的线面角的正弦值为$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，线面角的计算，空间向量的应用，属于中档题．