Question

13．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的上下左右顶点分别为A，B，C，D，且左右的焦点为F₁，F₂，且以F₁F₂为直径的圆内切于菱形ABCD，则椭圆的离心率e为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$
• C． $\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\frac{{-1+\sqrt{5}}}{2}$

Answer 1

分析 由题意写出菱形ABCD一边AD所在直线方程，由坐标原点O到AD的距离等于c列式求得关于e的方程，求解方程得答案．

解答 解：菱形ABCD一边AD所在直线方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，即bx+ay-ab=0，
由题意，坐标原点O到AD的距离d=$\frac{|-ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=c$，
整理可得 c⁴-3a²c²+a⁴=0，即：e⁴-3e²+1=0，
解得：$e=\frac{{-1±\sqrt{5}}}{2}，e=\frac{{-1+\sqrt{5}}}{2}$，$e=\frac{{-1-\sqrt{5}}}{2}$（舍去），
∴椭圆的离心率e=$\frac{{-1+\sqrt{5}}}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与圆位置关系的应用，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题．