Question

5．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，若存在过右焦点F的直线与双曲线C相交于A，B 两点且$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{BF}$，则双曲线在一、三象限的渐近线的斜率的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据向量数量积关系，建立不等式关系进行求解即可．

解答 解：由题意，A在双曲线的左支上，B在右支上，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），右焦点F（c，0），
则∵$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{BF}$，∴c-x₁=3（c-x₂），
∴3x₂-x₁=2c，
∵x₁≤-a，x₂≥a，
∴3x₂-x₁≥4a，∴2c≥4a，∴e=$\frac{c}{a}$≥2，
∴$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+{k^2}}≥2，即k≥\sqrt{3}或k≤-\sqrt{3}$
∴双曲线在一、三象限的渐近线的斜率的最小值为$\sqrt{3}$，
故选：B．

点评 本题主要考查双曲线的性质的应用，根据向量共线关系，建立方程组是解决本题的关键．