Question

附加题：是否存在一个二次函数f（x），使得对任意的正整数k，当时，都有f（x）=成立？请给出结论，并加以证明．

Answer 1

存在符合条件的二次函数．
设f（x）=ax²+bx+c，则当k=1，2，3时有：
f（5）=25a+5b+c=55 ①； f（55）=3025a+55a+c=5555②； f（555）=308025a+555b+c=555555③．
联立①、②、③，解得a=

9

5

，b=2，c=0．
于是，f（x）=

9

5

x²+2x．
下面证明二次函数f（x）=

9

5

x²+2x符合条件．
因为=5（1+10+100++10^k-1）=

5

9

（10^k-1），
同理：=

5

9

（10^2k-1）；
=f（

5

9

（10^k-1））=

9

5

[

5

9

(10k-1)]2+2×

5

9

（10^k-1）
=

5

9

（10^k-1）²+2×

5

9

（10^k-1）=

5

9

（10^k-1）（10^k+1）=

5

9

（10^2k-1）=
∴所求的二次函数 f（x）=

9

5

x²+2x符合条件．