Question

20．数列{a_n}是以d（d≠0）为公差的等差数列，a₁=2，且a₂，a₄，a₈成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=a_n•2ⁿ（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：a₂，a₄，a₈成等比数列，即（2+3d）²=（2+d）（2+7d），解得：d=2，由等差数列的通项公式即可求得求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：b_n=a_n•2ⁿ=2n•2ⁿ，利用“错位相减法”即可求得数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（Ⅰ）由a₂，a₄，a₈成等比数列，
∴（2+3d）²=（2+d）（2+7d），整理得：d²-2d=0，
∵d=2，d=0（舍去），
∴a_n=2+2（n-1）=2n，
数列{a_n}的通项公式a_n=2n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：b_n=a_n•2ⁿ=2n•2ⁿ，
数列{b_n}的前n项和T_n，${{T}_n}={b_1}+{b_2}+{b_3}+…+{b_n}=2×2+4×{2^2}+6×{2^3}+…+2n×{2^n}$，①
∴$2{{T}_n}=2×{2^2}+4×{2^3}+6×{2^4}+…+2n×{2^{n+1}}$，②
②-①：${{T}_n}=-2×2-2×{2^2}-2×{2^3}-…-2×{2^n}+2n×{2^{n+1}}$，
=-2（2+2²+2³+…+2ⁿ）+n×2ⁿ⁺²，
=$-2×\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}+n×{2^{n+2}}=4+（n-1）{2^{n+2}}$
∴${T_n}=4+（n-1）{2^{n+2}}$，
数列{b_n}的前n项和T_n，${T_n}=4+（n-1）{2^{n+2}}$．

点评 本题考查等差数列通项公式的求法，等比数列的性质，考查利用“错位相减法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．