Question

10．（1）若x＞-1，求y=$\frac{{{x^2}+7x+10}}{x+1}$的最小值；
（2）若a，b，c都是正数，且a+b+c=1，求证（1-a）（1-b）（1-c）≥8abc．

Answer 1

分析 （1）x＞-1，可得x+1＞0．变形为函数y=（x+1）+$\frac{4}{x+1}$+5，利用基本不等式的性质即可得出．
（2）根据已知条件知：1-a=b+c≥2$\sqrt{bc}$；“=成立b=c”
1-b=a+c≥2$\sqrt{ac}$时取“=成立a=c“；
1-c=a+b$≥2\sqrt{ab}$时取“=成立a=b“；
所以这三个不等式两边同时相乘就可以得到要证的结论

解答 解：（1）∵x＞-1，∴x+1＞0．
∴函数y=$\frac{（x+1）^{2}+5（x+1）+4}{x+1}$=（x+1）+$\frac{4}{x+1}$+5≥2$\sqrt{（x+1）（\frac{4}{x+1}）}$+5+5=4+5=9，
当且仅当x+1=2，即x=1时取等号．
∴函数y=$\frac{{{x^2}+7x+10}}{x+1}$的最小值；
（x＞-1）的最小值为9；
（2）证明：∵a+b+c=1，a，b，c都是正数；
∴1-a=b+c≥2$\sqrt{bc}$；“=成立b=c”
1-b=a+c≥2$\sqrt{ac}$时取“=成立a=c“；
1-c=a+b$≥2\sqrt{ab}$时取“=成立a=b“；
∴（1-a）（1-b）（1-c）≥8abc，a=b=c时取“=成立a=b=c=$\frac{1}{3}$“；

点评 本题考查了函数的最小值、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题