Question

1．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且$\sqrt{{S}_{n}}$是1与a_n的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设T_n为数列{$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和，证明：$\frac{2}{3}$≤T_n＜1（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由等差中项，列出S_n与a_n的关系式，根据${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$求解出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）数列{$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的结构分析，采用裂项相消求数列前n项和T_n，结合数列单调性及简单的放缩法，求得范围．

解答 解：（Ⅰ）n=1时，a₁=1--------（1分）
n≥2时，由$\sqrt{{S}_{n}}$是1与a_n的等差中项，
∴$4{S}_{n-1}=（{a}_{n-1}+1）^{2}$，
又$4{S}_{n}=（{a}_{n}+1）^{2}$，
两式相减得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0
∵a_n＞0
∴a_n-a_n-1=2
∴{a_n}是以1为首项，2为公差的等差数列，即a_n=2n-1．--------（6分）
（Ⅱ）∵$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$
∴T_n=$（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）+…+$$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$
=$1-\frac{1}{2n+1}$．------10
∵n∈N₊
∴T_n＜1
又∵T_n递增．
∴${T}_{n}≥{T}_{1}=\frac{2}{3}$，
综上，$\frac{2}{3}≤{T}_{n}＜1$成立．--------（12分）

点评 考查等差中项，前n项和与通项的关系，裂项相消法求前n项和，放缩法求范围，属于中档题．