Question

10．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=3a_n+1
（1）证明{a_n+$\frac{1}{2}$}是等比数列，并求{a_n}的通项公式
（2）若b_n=（2n-1）（2a_n+1），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由已知得a_n+1+$\frac{1}{2}$=3（a_n+$\frac{1}{2}$），${a}_{1}+\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，从而能证明{a_n+$\frac{1}{2}$}是首项为$\frac{3}{2}$，公比为3的等比数列．并能求出{a_n}的通项公式．
（2）由b_n=（2n-1）（2a_n+1）=（2n-1）•3ⁿ．利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项．

解答 证明：（1）∵数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=3a_n+1，
∴a_n+1+$\frac{1}{2}$=3（a_n+$\frac{1}{2}$），
又${a}_{1}+\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴{a_n+$\frac{1}{2}$}是首项为$\frac{3}{2}$，公比为3的等比数列．
∴${a}_{n}+\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}×{3}^{n-1}$=$\frac{{3}^{n}}{2}$，
∴{a_n}的通项公式${a}_{n}=\frac{{3}^{n}}{2}-\frac{1}{2}$．
（2）b_n=（2n-1）（2a_n+1）=（2n-1）•3ⁿ．
∴数列{b_n}的前n项和：
S_n=1•3+3•3²+5•3³+…+（2n-1）•3ⁿ，①
3S_n=1•3²+3•3³+5•3⁴+…+（2n-1）•3ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-2S_n=3+2（3²+3³+3⁴+…+3ⁿ）-（2n-1）•3ⁿ⁺¹
=3+2×$\frac{9（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（2n-1）•3ⁿ⁺¹
=-6-（2n-2）•3ⁿ⁺¹，
∴S_n=（n-1）•3ⁿ⁺¹+3．

点评 本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式及前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．