Question

20．已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=8，定义域为R的函数f（x）=$\frac{n-g（x）}{m+2g（x）}$是奇函数．
（Ⅰ）确定y=g（x），y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）若h（x）=f（x）+a在（-1，1）上有零点，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意的t∈（-1，4），不等式f（2t-3）+f（t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设g（x）=a^x（a＞0且a≠1），根据g（3）=8求得a的值，根据f（0）=0求得n的值，根据f（-1）=-f（1），求得m的值，可得y=g（x），y=f（x）的解析式．
（Ⅱ）若h（x）=f（x）+a在（-1，1）上有零点，则h（-1）h（1）＜0，由此求得a的取值范围．
（Ⅲ）由题意利用函数的奇偶性、单调性可得，对一切t∈（1，4），有t²+2t-3＞k恒成立，求得t²+2t-3的最小值，可得k的范围．

解答 解：（Ⅰ）设g（x）=a^x（a＞0且a≠1），∵g（3）=8，∴a³=8，解得a=2，∴g（x）=2^x．
∴$f（x）=\frac{{n-{2^x}}}{{m+{2^{x+1}}}}$，
∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，∴$\frac{n-1}{2+m}=0$=0，∴n=1，∴$f（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{m+{2^{x+1}}}}$．
又f（-1）=-f（1），∴$\frac{{1-\frac{1}{2}}}{m+1}=-\frac{1-2}{4+m}$，解得m=2，∴$f（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{2+{2^{x+1}}}}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$f（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{2+{2^{x+1}}}}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2^x}+1}}$，又h（x）=f（x）+a在（-1，1）上有零点，
从而h（-1）h（1）＜0，即$（{-\frac{1}{2}+\frac{1}{{\frac{1}{2}+1}}+a}）（{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2+1}+a}）＜0$，
∴（a+$\frac{1}{6}$）（a-$\frac{1}{6}$）＜0，∴-$\frac{1}{6}$＜a＜$\frac{1}{6}$，∴a的取值范围为（-$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{6}$）．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知$f（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{2+{2^{x+1}}}}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2^x}+1}}$，易知f（x）在R上为减函数，
又f（x）是奇函数，∴f（2t-3）+f（t-k）＜0，∴f（2t-3）＜-f（t-k）=f（k-t），
∵f（x）在R上为减函数，由上式得2t-3＞k-t²，
即对一切t∈（1，4），有t²+2t-3＞k恒成立，
令m（t）=t²+2t-3，t∈（1，4），易知m（t）＞-4，
∴k≤-4，即实数k的取值范围是（-∞，-4]．

点评 本题主要考查指数函数的定义，用待定系数法求函数的解析式，函数零点的判定定理，函数的恒成立问题，属于中档题．