Question

18．已知{a_n}是由正数组成的数列，前n项和为S_n，且满足：a_n+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{2{S}_{n}+\frac{1}{4}}$（n≥1，n∈N⁺），则a_n=n．

Answer 1

分析 a_n+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{2{S}_{n}+\frac{1}{4}}$（n≥1，n∈N⁺），n=1时，a₁+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{2{a}_{1}+\frac{1}{4}}$，解得a₁．n≥2时，平方相减可得$（{a}_{n}+\frac{1}{2}）^{2}$-$（{a}_{n-1}+\frac{1}{2}）^{2}$=2a_n，化为：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，可得a_n-a_n-1=1，再利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵a_n+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{2{S}_{n}+\frac{1}{4}}$（n≥1，n∈N⁺），
∴n=1时，a₁+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{2{a}_{1}+\frac{1}{4}}$，解得a₁=1，
n≥2时，$（{a}_{n}+\frac{1}{2}）^{2}$=2S_n+$\frac{1}{4}$，$（{a}_{n-1}+\frac{1}{2}）^{2}$=2${S}_{n-1}+\frac{1}{4}$，
∴$（{a}_{n}+\frac{1}{2}）^{2}$-$（{a}_{n-1}+\frac{1}{2}）^{2}$=2a_n，
化为：$（{a}_{n}-\frac{1}{2}）^{2}$-$（{a}_{n-1}+\frac{1}{2}）^{2}$=0，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1，
∴数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
故答案为：n．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．