Question

7．经济学中，函数f（x）的边际函数M（x）定义为M（x）=f（x+1）-f（x），利润函数p（x）边际利润函数定义为M₁（x）=p（x+1）-p（x），某公司最多生产 100 台报系统装置，生产x台的收入函数为R（x）=3000x-20x²（单位：元），其成本函数为C（x）=500x+4000x（单位：元），利润是收入与成本之差．
（1）求利润函数p（x）及边际利润函数M₁（x）；
（2）利润函数p（x）与边际利润函数M₁（x）是否具有相等的最大值？

Answer 1

分析 （1）P（x）=R（x）-C（x），M₁（x）=P（x+1）-P（x）．（1≤x≤100，x∈N^*）．
（2）由P（x）=-20$（x-\frac{125}{2}）^{2}$+74125，利用二次函数的单调性可得，P（x）_max．利用一次函数的单调性可得M₁（x）_max．

解答 解：（1）P（x）=R（x）-C（x）=3000x-20x²-（500x+4000）
=-20x²+2500x-4000（1≤x≤100，x∈N^*），
M₁（x）=P（x+1）-P（x）=2480-40x．（1≤x≤100，x∈N^*）．
（2）∵P（x）=-20$（x-\frac{125}{2}）^{2}$+74125，
∴当x=62 或63 时，P（x）_max=74120．
又∵M₁（x） 是减函数，∴当 x=1 时，M₁（x）_max=2440．
故利润函数p（x）与边际利润函数M₁（x）不具有相等的最大值．

点评 本题考查了一次函数与二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．