Question

设x、y满足约束条件

3x-y-2≤0 x-y≥0 x≥0，y≥0

，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，当

1

a

+

1

b

的最小值为m时，则y=sin（mx+

π

3

）的图象向右平移

π

6

后的表达式为（　　）

• A、y=sinx
• B、y=sin2x
• C、y=sin（x+

  π

  6

  ）
• D、y=sin（2x+

  π

  6

  ）

Answer 1

考点：简单线性规划的应用,函数与方程的综合运用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，确定z取最大值点的最优解，利用基本不等式的性质，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：作出不等式组

3x-y-2≤0 x-y≥0 x≥0，y≥0

对应的平面区域如图：
由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-

a

b

x+

z

b

，
则直线的斜率k=-

a

b

＜0，截距最大时，z也最大．
平移直y=-

a

b

x+

z

b

，由图象可知当直线y=-

a

b

x+

z

b

，经过点A时，
直线y=-

a

b

x+

z

b

，的截距最大，此时z最大，
由

3x-y-2=0 x-y=0

，解得

x=1 y=1

，
即A（1，1），
此时z=a+b=2，
即

1

2

(a+b)=1，
∴

1

a

+

1

b

=（

1

a

+

1

b

）（

a+b

2

）=1+

1

2

(

b

a

+

a

b

)≥2，
当且仅当

a

b

=

b

a

，即a=b=1时取等号，此时m=2，
y=sin（mx+

π

3

）=sin（2x+

π

3

）的图象向右平移

π

6

后的表达式为：y=sin[2（x-

π

6

）+

π

3

]=sin2x．
故选：B．

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义先求出最优解是解决本题的关键，利用基本不等式的解法和结合数形结合是解决本题的突破点．同时考查三角函数的图象的平移变换．