Question

10．函数y=sin（$\frac{π}{4}$x+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，则tan∠APB=-$\frac{8}{11}$．

Answer 1

分析 由条件利用正弦函数的图象特征求得AB、PA、PB的值，利用余弦定理求得cos∠APB 的值，再利用同角三角函数的基本关系求得tan∠APB的值．

解答 解：根据函数y=sin（$\frac{π}{4}$x+φ）（φ＞0）的部分图象，可得AB=$\frac{2π}{\frac{π}{4}}$=8，
PA=$\sqrt{1{+2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，PB=$\sqrt{1{+6}^{2}}$=$\sqrt{37}$，
利用余弦定理可得cos∠APB=$\frac{{PA}^{2}{+PB}^{2}{-AB}^{2}}{2PA•PB}$=-$\frac{11}{\sqrt{185}}$，
∴sin∠APB=$\sqrt{{1-cos}^{2}∠AOB}$=$\frac{8}{\sqrt{185}}$，∴tan∠APB=$\frac{sin∠APB}{cos∠APB}$=-$\frac{8}{11}$，
故答案为：-$\frac{8}{11}$．

点评 本题主要考查正弦函数的图象的特征，余弦定理，同角三角函数的基本关系，属于基础题．