Question

设a、b、c＞0，证明：

a

b+c

+

b

a+c

+

c

a+b

+

a2+b2+c2 ab+bc+ca

≥

5

2

．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,不等式的解法及应用

分析：由于a、b、c＞0，运用二元均值不等式，即可得到a²+b²+c²≥ab+bc+ca，即有

a2+b2+c2 ab+bc+ca

≥1，再对

a

b+c

+

b

a+c

+

c

a+b

的分子常数化，再由三元均值不等式，即可得到

a

b+c

+

b

a+c

+

c

a+b

≥

3

2

，进而得到证明．

解答： 证明：由于a、b、c＞0，a²+b²≥2ab，
b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ca，
相加，得a²+b²+c²≥ab+bc+ca，
即有

a2+b2+c2 ab+bc+ca

≥1，当且仅当a=b=c取等号，①
又

a

b+c

+

b

a+c

+

c

a+b

=

a+b+c-(b+c)

b+c

+

a+b+c-(a+c)

a+c

+

a+b+c-(a+b)

a+b

=（a+b+c）（

1

c+b

+

1

c+a

+

1

a+b

）-3=

1

2

（（c+b）+（c+a）+（a+b））（

1

c+b

+

1

c+a

+

1

a+b

）-3
≥

1

2

•3

3	(c+b)(c+a)(a+b)

•3

3	1 (c+b)(c+a)(a+b)

-3=

9

2

-3=

3

2

，当且仅当a=b=c取等号，②
①+②，得，

a

b+c

+

b

a+c

+

c

a+b

+

a2+b2+c2 ab+bc+ca

≥

5

2

．

点评：本题考查不等式的证明，考查均值不等式的运用，注意变形，考查推理能力，属于中档题．