Question

已知F₁，F₂是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F₁PF₂=

π

3

，记椭圆和双曲线的离心率分别为e₁，e₂，则

1

e12

+

3

e22

的值为（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先设椭圆的长半轴长为a₁，双曲线的半实轴长a₂，焦距2c．因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，所以需要找a₁，a₂，c之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以用a₁，a₂表示出|PF₁|，|PF₂|，并且|F1F2|=2c，∠F1PF2=

π

3

，在△F₁PF₂中根据余弦定理可得到：

a12

c2

+

3a22

c2

=4，所以

1

e12

+

3

e22

=4．

解答： 解：如图，设椭圆的长半轴长为a₁，双曲线的半实轴长为a₂，则根据椭圆及双曲线的定义：

|PF1|+|PF2|=2a1 |PF1|-|PF2|=2a2

；
∴|PF₁|=a₁+a₂，|PF₂|=a₁-a₂，设|F₁F₂|=2c，∠F1PF2=

π

3

，则：
在△PF₁F₂中由余弦定理得，4c2=(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)(a1-a2)•cos

π

3

；
∴化简得：a12+3a22=4c2，该式可变成：

a12

c2

+

3a22

c2

=4；
∴

1

e12

+

3

e22

=4．
故选D．

点评：考查椭圆及双曲线的交点，及椭圆与双曲线的定义，以及它们离心率的定义，余弦定理．