Question

14．在约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{y+x≤t}\\{y+2x≤4}\\{\;}\end{array}\right.$下，当t≥0时，其所表示的平面区域的面积为S（t），S（t）与t之间的函数关系用下列图象表示，正确的应该是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用分类讨论分别求出当t取不同值时，对应区域的面积，利用函数的性质进行判断即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图，
当直线y+x=t经过C（2，0）时，此时t=2，
即当0＜t≤2时，阴影部分为三角形OAB，
此时A（t，0），B（0，t），
则平面区域的面积为S（t）=$\frac{1}{2}$t²，为开口向上的抛物线的一段，
当直线y+x=t经过G（0，4）时，此时t=4，
当t≥4时，对应的区域为三角形OCG，此时G（0，4），C（2，0），
此时三角形的面积为S（t）=$\frac{1}{2}$×2×4=4为定值，排除B，D，
当2＜t＜4时，此时平面区域为四边形OCEF，
此时F（0，t），
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=t}\\{y+2x=4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=4-t}\\{y=2t-4}\end{array}\right.$，即E（4-t，2t-4），
此时四边形OCEF的面积S=S_△OCG-S_△GFE=4-$\frac{1}{2}$（4-t）（4-t）=4-$\frac{1}{2}$（t-4）²，为开口向下的抛物线，
故选：A

点评 本题主要考查线性规划的应用，考查函数作图的能力，作出不等式组对应的平面区域，求出对应的区域以及对应的区域的面积是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．