Question

5．一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的所有棱长之和等于4+4$\sqrt{3}$，棱锥的体积等于

Answer 1

分析 由三视图知几何体是一个三棱锥，在对应的正方体中作出此三棱锥，利用正方体的长度和位置关系求出各个棱长，利用分割法和椎体的体积公式求出此三棱锥的体积．

解答 解：由三视图知几何体是一个三锥A-BCD，如图：
图中的正方体的棱长是2，其中A、B、E、F分别是对应边的中点，C、D是对应面的中心，
由图得，AB⊥平面CDE，AB=CD=2，CF=AE=BE=1，
又BF=$\sqrt{2}$，则BC=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即AD=BD=AC=BC=$\sqrt{3}$
所以棱锥的各棱长之和：4+4$\sqrt{3}$，
又DE=EC=BF=$\sqrt{2}$，CD=2，
所以几何体的体积V=V_A-DEC+V_B-DEC=2×$\frac{1}{3}•{S}_{△DEC}•AE$
=2×$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×1$=$\frac{2}{3}$，
故答案为：$4+4\sqrt{3}，\frac{2}{3}$．

点评 本题考查三视图求几何体的体积和棱长，此几何体放在正方体中直观、容易理解，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力和转化能力．