Question

16．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（?＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的图象如图所示．，若$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{QR}$=$\frac{{π}^{2}}{16}$-4，为了得到函数f（x）的图象只要把函数y=2sinx图象上所有的点（　　）

• A． 横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$倍，纵坐标不变，再向左平移$\frac{π}{3}$个单位
• B． 横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$倍，纵坐标不变，再向左平移$\frac{π}{6}$个单位
• C． 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移$\frac{π}{3}$个单位
• D． 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移$\frac{π}{6}$个单位

Answer 1

分析 利用直角三角形中的边角关系、余弦定理求出周期T，再由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

解答 解：根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（?＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的图象，可得PQ=QR=$\sqrt{{（\frac{T}{4}）}^{2}{+2}^{2}}$，
cos$\frac{∠PQR}{2}$=$\frac{2}{\sqrt{\frac{{T}^{2}}{16}+4}}$，∴cos∠PQR=2${cos}^{2}\frac{∠PQR}{2}$-1=$\frac{64{-T}^{2}}{64{+T}^{2}}$．
∵$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{QR}$=PQ•QR•cos（π-∠PQR ）=（$\frac{{T}^{2}}{16}$+4）•（-$\frac{64{-T}^{2}}{64{+T}^{2}}$ ）=$\frac{{π}^{2}}{16}$-4，∴T=π=$\frac{2π}{ω}$，∴ω=2．
再根据五点法作图可得2•$\frac{π}{12}$+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{3}$，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
把函数y=2sinx图象上所有的点横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$倍，纵坐标不变，可得函数y=2sin2x图象；
再向左平移$\frac{π}{6}$个单位，可得函数y=2sin2（x+$\frac{π}{6}$）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象，
故选：B．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，利用直角三角形中的边角关系、余弦定理求出周期T，再由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．