Question

4．如图，点A，B，C是椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的三个顶点，D是OA的中点，P、Q是直线x=4上的两个动点．
（1）当点P的纵坐标为1时，求证：直线CD与直线BP的交点在椭圆上；
（2）设F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，PF₁⊥QF₂，证明以线段PQ为直径的圆恒过定点，并求出该定点坐标．

Answer 1

分析 （1）求出A，B，C，D，P的坐标，可得直线CD，BP的方程，求出交点，代入椭圆方程，即可得证；
（2）设P（4，m），Q（4，n），F₁（-2$\sqrt{3}$，0），F₂（2$\sqrt{3}$，0），由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得mn=-4，求得线段PQ为直径的圆心和半径，可得圆方程，再令y=0，即可得到定点的坐标．

解答 证明：（1）由题意可得A（4，0），B（0，2），C（0，-2），
P（4，1），D（2，0），
直线CD的方程为y=x-2，直线BP的方程为y=-$\frac{1}{4}$x+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{y=-\frac{1}{4}x+2}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{16}{5}}\\{y=\frac{6}{5}}\end{array}\right.$，
由$\frac{1{6}^{2}}{25×16}$+$\frac{36}{25×4}$=1，可得直线CD与直线BP的交点在椭圆上；
（2）设P（4，m），Q（4，n），F₁（-2$\sqrt{3}$，0），F₂（2$\sqrt{3}$，0），
由PF₁⊥QF₂，可得$\frac{m}{4+2\sqrt{3}}$•$\frac{n}{4-2\sqrt{3}}$=-1，
即有mn=-4，
以线段PQ为直径的圆的圆心为（4，$\frac{m+n}{2}$），半径为$\frac{|m-n|}{2}$，
可得圆的方程为（x-4）²+（y-$\frac{m+n}{2}$）²=（$\frac{m-n}{2}$）²，
化为（x-4）²+y²-（m+n）y-4=0，
令y=0，即有（x-4）²-4=0，解得x=6或2．
则以线段PQ为直径的圆恒过定点（2，0）或（6，0）．

点评 本题考查两直线的交点在椭圆上，注意联立直线方程，求交点，考查圆经过定点的方法，注意圆方程的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．