Question

12．已知定义在R上的函数f（x）满足xf′（x）-f（x）＞0，当0＜m＜n＜1时，下面选项中最大的一项是（　　）

• A． $\frac{f（{m}^{n}）}{{m}^{n}}$
• B． log_mn•f（log_nm）
• C． $\frac{f（{n}^{m}）}{{n}^{m}}$
• D． log_nm•f（log_mn）

Answer 1

分析 通过构造新函数构造函数F（x）=xf（x）得出F（x）在R上是增函数，得到log_n（m）最大，从而得出答案．

解答 解：构造函数F（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
∵xf′（x）-f（x）＞0，
则F′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＞0，
即F（x）在R上是增函数，
又由0＜m＜n＜1，知mⁿ，n^m＜1，
而log_m（n）＜log_m（m）=1，
log_n（m）＞log_n（n）=1，
故在mⁿ＜n^m，log_m（n），log_n（m）中log_n（m）最大，
故F（log_n（m））=log_mn•f（log_n^m）最大
故选：B．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查了转化思想，是一道中档题．