Question

20．已知一非零向量数列{a_n}满足$\overrightarrow{a_1}$=（2，0），$\overrightarrow{a_n}$=（x_n，y_n）=$\frac{1}{2}$（x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1）（n≥2且n∈N^*）．给出以下结论：
①数列{|${\overrightarrow{a_n}}$|}是等差数列，
②|${\overrightarrow{a_2}}$|•|${\overrightarrow{a_6}}$|=$\frac{1}{2}$；
③设c_n=2log₂|${\overrightarrow{a_n}}$|，则数列{c_n}的前n项和为T_n，当且仅当n=2时，T_n取得最大值；
④记向量$\overrightarrow{a_n}$与$\overrightarrow{{a_{n-1}}}$的夹角为θ_n（n≥2），均有θ_n=$\frac{π}{4}$．
其中所有正确结论的序号是④．

Answer 1

分析 利用等差数列的定义、等比数列的定义、向量的模、向量的夹角及数列的前n项和等知识对每个结论逐一判断可得答案．

解答 解：∵|$\overrightarrow{{a}_{n}}$|=$\sqrt{{x}_{n}^{2}+{y}_{n}^{2}}$，
∴|$\overrightarrow{{a}_{n+1}}$|=$\sqrt{{x}_{n+1}^{2}+{y}_{n+1}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{{x}_{n}-{y}_{n}}{2}）^{2}+（\frac{{x}_{n}+{y}_{n}^{\;}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{{x}_{n}^{2}+{y}_{n}^{2}}$=|$\overrightarrow{{a}_{n}}$|，
∴{|${\overrightarrow{a_n}}$|}是以$\sqrt{2}$为首项，以$\frac{\sqrt{2}}{2}$为公比的等比数列，即①不正确．
又∵{|${\overrightarrow{a_n}}$|}是以$\sqrt{2}$为首项，以$\frac{\sqrt{2}}{2}$为公比的等比数列，
∴②|${\overrightarrow{a_2}}$|•|${\overrightarrow{a_6}}$|=$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\sqrt{2}$×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）⁵=$\frac{1}{4}$，即②不正确．
又∵{|${\overrightarrow{a_n}}$|}是以$\sqrt{2}$为首项，以$\frac{\sqrt{2}}{2}$为公比的等比数列，
∴|${\overrightarrow{a_n}}$|=2×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）ⁿ，
∴$\overrightarrow{{a}_{1}}$=$\sqrt{2}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}$=1，n≥3时，${\overrightarrow{a_n}}$＜1
∴c₁=1，c₂=0，当n≥3时，c_n＜0，
∴当n=1或2时，T_n取得最大值为1，
∴③不正确．
由已知得：$\overrightarrow{{a}_{n-1}}$•$\overrightarrow{{a}_{n}}$=（x_n-1，y_n-1）•$\frac{1}{2}$（x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1）=$\frac{1}{2}$（x_n-1²+y_n-1²）=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{{a}_{n-1}}$|²，
又∵cos＜$\overrightarrow{{a}_{n-1}}$•$\overrightarrow{{a}_{n}}$＞=$\frac{\overrightarrow{{a}_{n-1}}•\overrightarrow{{a}_{n}}}{|\overrightarrow{{a}_{n-1}}||\overrightarrow{{a}_{n}}|}$，
将|$\overrightarrow{{a}_{n}}$|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|$\overrightarrow{{a}_{n-1}}$|，$\overrightarrow{{a}_{n-1}}$•$\overrightarrow{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{{a}_{n-1}}$|²，代入可得cos＜$\overrightarrow{{a}_{n-1}}$•$\overrightarrow{{a}_{n}}$＞=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
向量$\overrightarrow{a_n}$与$\overrightarrow{{a_{n-1}}}$的夹角为θ_n（n≥2），均有θ_n=$\frac{π}{4}$．
∴④正确．
故所有正确结论的序号是④，
故答案为：④

点评 本题主要考查知识间的转化与应用，涉及到数列的判断与证明，通项公式及前n项和公式的灵活运用．这是高考考查的重点，在学习中要重点关注．